5. В треугольнике АВС ∠B = 90°, ∠C = 60°, ВС = 2 см. На стороне АС отмечена точка D так, что угол ABD равен 30°. а) найдите длину отрезка AD. б) Докажите, что периметр треугольника АВС меньше 10 см.

Решение:

а) Нахождение длины отрезка AD

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \angle B = 90° \), \( \angle C = 60° \), \( BC = 2 \) см.

\( \angle BAC = 180° - 90° - 60° = 30° \).

Найдем длину катета AB:

\( AB = BC \cdot \tan(60°) = 2 \cdot \sqrt{3} \) см.

Найдем длину гипотенузы AC:

\( AC = \frac{BC}{\cos(60°)} = \frac{2}{1/2} = 4 \) см.

Теперь рассмотрим треугольник ABD.

\( \angle BAC = 30° \) (то есть \( \angle BAD = 30° \)), \( \angle ABD = 30° \).

Так как \( \angle BAD = \angle ABD = 30° \), треугольник ABD равнобедренный с основанием BD. Следовательно, \( AD = BD \).

Угол \( \angle ADB \) внешний для треугольника BDC, поэтому \( \angle ADB = \angle DBC + \angle C = 30° + 60° = 90° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. У нас \( \angle BAD = 30° \) и \( \angle ABD = 30° \). Это противоречит тому, что \( \angle ADB = 90° \). Значит, \( \angle ADB \) не может быть \( 90° \).

Пересчитаем углы:

\( \angle BAC = 30° \).

\( \angle B = 90° \).

\( \angle C = 60° \).

\( \angle ABD = 30° \).

\( \angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 90° - 30° = 60° \).

Рассмотрим треугольник BDC. Углы:

\( \angle DBC = 60° \), \( \angle C = 60° \).

Значит, \( \angle BDC = 180° - 60° - 60° = 60° \). Треугольник BDC равносторонний.

Следовательно, \( BD = BC = CD = 2 \) см.

Так как \( \triangle ABD \) равнобедренный (\( \angle BAD = \angle ABD = 30° \)), то \( AD = BD = 2 \) см.

б) Доказательство, что периметр треугольника ABC меньше 10 см

Периметр треугольника ABC равен \( P_{ABC} = AB + BC + AC \).

Мы нашли:

\( AB = 2 \sqrt{3} \) см.

\( BC = 2 \) см.

\( AC = 4 \) см.

\( P_{ABC} = 2 \sqrt{3} + 2 + 4 = 6 + 2 \sqrt{3} \) см.

Оценим значение \( \sqrt{3} \). \( \sqrt{3} \) приблизительно равно \( 1.732 \).

\( P_{ABC} \approx 6 + 2 \cdot 1.732 = 6 + 3.464 = 9.464 \) см.

\( 9.464 < 10 \).

Следовательно, периметр треугольника ABC меньше 10 см.

Ответ: а) AD = 2 см. б) Периметр треугольника ABC равен \( 6 + 2 \sqrt{3} \) см, что меньше 10 см.