3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка О. Докажите равенство треугольников АМО и СМО.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, медиана BM является также высотой и биссектрисой.

Следовательно, \( BM \perp AC \) и \( \angle BMA = \angle BMC = 90° \).

Точка O лежит на медиане BM. Рассмотрим треугольники AMO и CMO:

• AO = CO (так как BM — медиана, она делит основание AC пополам, но здесь точка O, а не M. Мы доказываем равенство треугольников AMO и CMO, а не AMB и CMB. Давайте переформулируем.)

Переформулировка решения:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, медиана BM является также высотой. Следовательно, \( BM \perp AC \), и \( \angle BMA = 90° \).

Рассмотрим треугольники AMO и CMO:

• 1. MO — общая сторона.
• 2. \( \angle AMO = \angle CMO = 90° \) (так как BM — высота).
• 3. AM = CM (так как BM — медиана, она делит основание AC пополам).

По двум сторонам и углу между ними (по признаку равенства треугольников), \( \triangle AMO = \triangle CMO \).

Доказано.