5. В треугольнике АВС ∠B = 90°, ∠C = 60°, ВС = 2 см. На стороне АС отмечена точка D так, что угол ABD равен 30°.

Дано:

\( \triangle ABC \).

\( \angle B = 90^{\circ}, \angle C = 60^{\circ}, BC = 2 \text{ см} \).

\( D \) — точка на \( AC \).

\( \angle ABD = 30^{\circ} \).

Решение:

a) Найдите длину отрезка AD.

1. Найдем углы \( \triangle ABC \):
• \( \angle B = 90^{\circ} \) (по условию).
• \( \angle C = 60^{\circ} \) (по условию).
• \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
2. Найдем длины сторон \( \triangle ABC \) (это прямоугольный треугольник):
• \( BC = 2 \text{ см} \) (по условию).
• \( AC = \frac{BC}{\sin 60^{\circ}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см} \).
• \( AB = BC \tan 60^{\circ} = 2 \cdot \sqrt{3} \text{ см} \).
3. Найдем \( \angle DBC \):
• \( \angle ABC = 90^{\circ} \).
• \( \angle ABD = 30^{\circ} \) (по условию).
• \( \angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
4. Рассмотрим \( \triangle BCD \):
• \( \angle C = 60^{\circ} \) (из п. 1).
• \( \angle DBC = 60^{\circ} \) (из п. 3).
• Так как \( \angle C = \angle DBC = 60^{\circ} \), то \( \triangle BCD \) — равносторонний.
• Следовательно, \( CD = BC = BD = 2 \text{ см} \).
5. Найдем длину отрезка \( AD \):
• \( AD = AC - CD \).
• \( AD = \frac{4\sqrt{3}}{3} - 2 \text{ см} \).

Ответ: a) \( AD = \frac{4\sqrt{3}}{3} - 2 \text{ см} \).

б) Докажите, что периметр треугольника АВС меньше 10 см.

1. Периметр \( \triangle ABC \) равен \( P = AB + BC + AC \).
2. \( P = 2\sqrt{3} + 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3} \).
3. Приведем к общему знаменателю: \( P = \frac{6\sqrt{3}}{3} + \frac{6}{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3} + 6}{3} \).
4. Оценим значение \( \sqrt{3} \). \( \sqrt{3} \approx 1.732 \).
5. \( P \approx \frac{10 \cdot 1.732 + 6}{3} = \frac{17.32 + 6}{3} = \frac{23.32}{3} \approx 7.77 \text{ см} \).
6. Так как \( 7.77 < 10 \), то периметр \( \triangle ABC \) меньше 10 см.

Доказано.