2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В, равным 36°, проведена биссектриса АК. Докажите, что треугольники СКА и АКВ равнобедренные..

Дано:

\( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AC \) — основание.

\( \angle B = 36^{\circ} \).

\( AK \) — биссектриса.

Доказать:

\( \triangle CKA \) и \( \triangle AKB \) — равнобедренные.

Решение:

1. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \), то углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - 36^{\circ}}{2} = \frac{144^{\circ}}{2} = 72^{\circ} \).
2. \( AK \) — биссектриса \( \angle BAC \), значит, она делит его пополам: \( \angle BAK = \angle KAC = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ} \).
3. Рассмотрим \( \triangle AKB \):
• \( \angle KAB = 36^{\circ} \) (из п. 2).
• \( \angle B = 36^{\circ} \) (по условию).
• Так как \( \angle KAB = \angle B \), то \( \triangle AKB \) — равнобедренный с основанием \( AB \).
4. Рассмотрим \( \triangle CKA \):
• \( \angle KCA = 72^{\circ} \) (из п. 1).
• \( \angle KAC = 36^{\circ} \) (из п. 2).
• \( \angle AKC \) — внешний угол \( \triangle AKB \). \( \angle AKC = \angle KAB + \angle B = 36^{\circ} + 36^{\circ} = 72^{\circ} \).
• Так как \( \angle KCA = \angle AKC = 72^{\circ} \), то \( \triangle CKA \) — равнобедренный с основанием \( AC \).

Доказано.