5. В санатории зимой отдыхало 840 мужчин и женщин. Летом число мужчин уменьшилось на 10%, а число женщин увеличилось на 15%. Сколько мужчин и сколько женщин отдыхало летом в санатории, если известно, что общее число отдыхающих увеличилось на 50 человек?

Решение:

Пусть \( m_з \) — число мужчин зимой, \( w_з \) — число женщин зимой. \( m_л \) — число мужчин летом, \( w_л \) — число женщин летом.

Известно:

• \( m_з + w_з = 840 \)
• \( m_л = m_з - 0.10 m_з = 0.90 m_з \)
• \( w_л = w_з + 0.15 w_з = 1.15 w_з \)
• \( m_л + w_л = 840 + 50 = 890 \)

Подставим выражения для \( m_л \) и \( w_л \) в последнее уравнение:

\( 0.90 m_з + 1.15 w_з = 890 \)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( m_з + w_з = 840 \)
2. \( 0.90 m_з + 1.15 w_з = 890 \)

Из первого уравнения выразим \( m_з = 840 - w_з \).

Подставим во второе уравнение:

\( 0.90 (840 - w_з) + 1.15 w_з = 890 \)

\( 756 - 0.90 w_з + 1.15 w_з = 890 \)

\( 0.25 w_з = 890 - 756 \)

\( 0.25 w_з = 134 \)

\( w_з = \frac{134}{0.25} = 536 \) женщин зимой.

\( m_з = 840 - 536 = 304 \) мужчины зимой.

Теперь найдем число мужчин и женщин летом:

\( m_л = 0.90 \cdot 304 = 273.6 \) — здесь ошибка, число людей должно быть целым. Проверим условия задачи. Возможно, в условии или в моих расчетах есть неточность.

Пересчитаем: \( m_л = 0.90 m_з \), \( w_л = 1.15 w_з \), \( m_л + w_л = 890 \).
\( m_з + w_з = 840 \).

Умножим первое уравнение на 0.9:

\( 0.9 m_з + 0.9 w_з = 0.9 \cdot 840 = 756 \)

Теперь вычтем это из второго уравнения:

\( (0.90 m_з + 1.15 w_з) - (0.9 m_з + 0.9 w_з) = 890 - 756 \)

\( 0.25 w_з = 134 \)

\( w_з = \frac{134}{0.25} = 536 \) женщин зимой.

\( m_з = 840 - 536 = 304 \) мужчин зимой.

Теперь считаем летом:

\( m_л = 0.90 \cdot 304 = 273.6 \).
\( w_л = 1.15 \cdot 536 = 616.4 \).

Сумма: \( 273.6 + 616.4 = 890 \).

Так как число людей не может быть дробным, предположим, что условие задачи содержит некоторую погрешность, или что округление уже произошло. Но для строгого решения, если бы числа были целыми:

\( m_л = 274 \), \( w_л = 616 \). Тогда \( 274 + 616 = 890 \).

Проверим, насколько это соответствует условию:

\( 274 / 0.90 \approx 304.44 \) (мужчин зимой)

\( 616 / 1.15 \approx 535.65 \) (женщин зимой)

\( 304.44 + 535.65 = 840.09 \) (примерно 840).

Вероятно, в условии задачи подразумеваются целые числа, и расчеты должны дать целые результаты. Давайте предположим, что задача имеет решение с целыми числами.

Если \( m_з \) и \( w_з \) - целые, то \( 0.9 m_з \) и \( 1.15 w_з \) должны быть такими, чтобы их сумма была 890.

\( m_з = 840 - w_з \)

\( 0.9(840 - w_з) + 1.15 w_з = 890 \)

\( 756 - 0.9 w_з + 1.15 w_з = 890 \)

\( 0.25 w_з = 134 \)

\( w_з = 536 \) (женщин зимой).

\( m_з = 840 - 536 = 304 \) (мужчин зимой).

\( m_л = 0.9 \times 304 = 273.6 \)

\( w_л = 1.15 \times 536 = 616.4 \)

Поскольку число отдыхающих должно быть целым, здесь есть проблема с условием задачи. Если предположить, что \( m_л \) и \( w_л \) — это искомые числа, то:

\( m_л = 0.9 m_з \) → \( m_з = m_л / 0.9 \)

\( w_л = 1.15 w_з \) → \( w_з = w_л / 1.15 \)

\( m_з + w_з = 840 \)

\( \frac{m_л}{0.9} + \frac{w_л}{1.15} = 840 \)

\( m_л + w_л = 890 \) → \( m_л = 890 - w_л \)

\( \frac{890 - w_л}{0.9} + \frac{w_л}{1.15} = 840 \)

\( 890 - w_л \) умножаем на \( 1.15 \), \( w_л \) умножаем на \( 0.9 \):

\( 1.15(890 - w_л) + 0.9 w_л = 840 \cdot 0.9 \times 1.15 \)

\( 1023.5 - 1.15 w_л + 0.9 w_л = 866.7 \)

\( -0.25 w_л = 866.7 - 1023.5 \)

\( -0.25 w_л = -156.8 \)

\( w_л = \frac{-156.8}{-0.25} = 627.2 \)

\( m_л = 890 - 627.2 = 262.8 \)

Опять дробные числа. Вероятно, числа в задаче подобраны неточно для получения целых результатов.

Если задача из учебника, то, скорее всего, предполагается, что \( m_з = 304 \) и \( w_з = 536 \) (зимние значения). Тогда летние должны быть:

\( m_л = 0.9 \times 304 = 273.6 \) → округляем до 274.

\( w_л = 1.15 \times 536 = 616.4 \) → округляем до 616.

\( 274 + 616 = 890 \). Это соответствует общему увеличению на 50 человек.

Ответ: Летом в санатории отдыхало примерно 274 мужчины и 616 женщин.