5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол при вершине В равен 120°. Высота, проведённая к основанию, равна 7 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике АВС высота, проведённая к основанию АС, является также биссектрисой угла В и медианой. Обозначим точку пересечения высоты со стороной АС как Н. Таким образом, ВН = 7 см.

Так как ВН — биссектриса угла В, то \( \angle ABH = \angle CBH = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).

Так как ВН — медиана, то она делит основание АС пополам: \( AH = HC \). Также, треугольник АВН и СВН являются прямоугольными, так как ВН — высота (\( \angle BHA = \angle BHC = 90^{\circ} \)).

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН:

• Угол \( \angle ABH = 60^{\circ} \)
• Угол \( \angle BAH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \)
• Катет ВН = 7 см.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. Следовательно, гипотенуза АВ (которая является боковой стороной равнобедренного треугольника) в два раза больше катета ВН.

\[ AB = 2 \cdot BH = 2 \cdot 7 \text{ см} = 14 \text{ см} \]

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны, поэтому АВ = ВС = 14 см.

Ответ: Боковая сторона треугольника равна 14 см.