5. В прямоугольном треугольнике CDE с прямым углом Е проведена высота EF. Найдите CF и FD, если CD = 18 см, а ∠DCE = 30°.

Дано:

$$\triangle CDE$$, $$\angle E = 90^{\circ}$$, $$EF \perp CD$$. $$EF$$ — высота.

$$CD = 18$$ см.

$$\angle DCE = 30^{\circ}$$.

Найти:

$$CF$$, $$FD$$.

Решение:

1. В прямоугольном $$\triangle CDE$$ катет $$DE$$ лежит против угла $$30^{\circ}$$, поэтому $$DE = \frac{1}{2} CD$$.
2. $$DE = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$$ см.
3. По теореме Пифагора найдём катет $$CE$$: $$CE^2 = CD^2 - DE^2 = 18^2 - 9^2 = 324 - 81 = 243$$.
4. $$CE = \sqrt{243} = 9\sqrt{3}$$ см.
5. Рассмотрим прямоугольный $$\triangle CEF$$. В нём $$\angle C = 30^{\circ}$$.
6. Катет $$CF$$ лежит против угла $$30^{\circ}$$ в $$\triangle CEF$$ (неверно, $$EF$$ лежит против угла $$30^{\circ}$$), $$EF$$ лежит против угла $$30^{\circ}$$.
7. $$EF = \frac{1}{2} CE = \frac{1}{2} \cdot 9\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$$ см.
8. $$CF^2 = CE^2 - EF^2 = (9\sqrt{3})^2 - (\frac{9\sqrt{3}}{2})^2 = 243 - \frac{243}{4} = \frac{3 \cdot 243}{4}$$.
9. $$CF = \sqrt{\frac{3 \cdot 243}{4}} = \frac{9\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} = \frac{9 \cdot 3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$$ см.
10. $$FD = CD - CF = 18 - 13.5 = 4.5$$ см.

Ответ: $$CF = 13.5$$ см, $$FD = 4.5$$ см.