3. На рисунке 2 ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 = 90°; BD = DC. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Решение:

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle ACD$$.

1. $$BD = DC$$ (по условию).
2. $$\angle ADB = \angle ADC$$ (так как $$\angle 3 = 90^{\circ}$$ и $$\angle 4 = 90^{\circ}$$, а $$\angle ADB + \angle ADC = 180^{\circ}$$ как смежные, то $$\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$$).
3. $$\angle 1 = \angle 2$$ (по условию).
4. По теореме о сумме углов треугольника:
5. $$\angle BAD = 180^{\circ} - \angle ABD - \angle ADB = 180^{\circ} - \angle ABD - 90^{\circ} = 90^{\circ} - \angle ABD$$.
6. $$\angle CAD = 180^{\circ} - \angle ACD - \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ACD - 90^{\circ} = 90^{\circ} - \angle ACD$$.
7. Из условия $$\angle 1 = \angle 2$$ следует, что $$\angle ABD = \angle ACD$$.
8. Следовательно, $$\angle BAD = \angle CAD$$.
9. По двум углам и стороне между ними, $$\triangle ABD \cong \triangle ACD$$.
10. Следовательно, $$AB = AC$$.
11. Таким образом, $$\triangle ABC$$ — равнобедренный треугольник.

Доказано.