5. Упростите выражение \( (\frac{b+1}{b-1} - \frac{b}{b+1}) : \frac{3b+1}{2b-2} \)

Решение:

1. Приведём к общему знаменателю выражение в первой скобке: \( \frac{(b+1)^2 - b(b-1)}{(b-1)(b+1)} = \frac{b^2 + 2b + 1 - b^2 + b}{b^2 - 1} = \frac{3b+1}{b^2 - 1} \)
2. Заменим деление умножением на обратную дробь: \( \frac{3b+1}{b^2 - 1} \cdot \frac{2b-2}{3b+1} \)
3. Сократим \( (3b+1) \) и \( (b^2-1) = (b-1)(b+1) \), а \( (2b-2) = 2(b-1) \): \( \frac{1}{(b-1)(b+1)} \cdot \frac{2(b-1)}{1} \)
4. Сократим \( (b-1) \) и получим: \( \frac{2}{b+1} \)

Ответ: \( \frac{2}{b+1} \).