5. Упростить выражение и найти его значение: \(\frac{a^{-6}}{a^{-3}} \cdot a^{-2}, \text{ при } a = \frac{2}{3}\)

Решение:

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней:

\(\frac{a^{-6}}{a^{-3}} = a^{-6 - (-3)} = a^{-6 + 3} = a^{-3}\)

Теперь умножим полученное выражение на \(a^{-2}\):

\(a^{-3} \cdot a^{-2} = a^{-3 + (-2)} = a^{-5}\)

Теперь подставим значение \(a = \frac{2}{3}\) в упрощённое выражение \(a^{-5}\):

\( \left(\frac{2}{3}\right)^{-5} = \left(\frac{3}{2}\right)^{5} = \frac{3^5}{2^5} = \frac{243}{32} \)

Ответ: \(\frac{243}{32}\)