5. Упростить выражение и найти его значение: \( a^{-6} : a^{-3} \cdot a^{-2} \) при \( a = \frac{2}{3} \).

Решение:

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней:

1. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( a^{-6} : a^{-3} = a^{-6 - (-3)} = a^{-6 + 3} = a^{-3} \).
2. Теперь умножим полученный результат на \( a^{-2} \). При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( a^{-3} \cdot a^{-2} = a^{-3 + (-2)} = a^{-3 - 2} = a^{-5} \).
3. Теперь подставим значение \( a = \frac{2}{3} \) в упрощённое выражение \( a^{-5} \).
4. \( \left( \frac{2}{3} \right)^{-5} = \left( \frac{3}{2} \right)^{5} \) (при отрицательном показателе степени дробь переворачивается).
5. Возведём дробь в пятую степень: \( \frac{3^5}{2^5} = \frac{243}{32} \).

Ответ: \( \frac{243}{32} \).