5. Треугольник \(MNK\) задан координатами своих вершин: \(M(-6;1)\), \(N(2;4)\), \(K(2;-2)\). а) Докажите, что \(\triangle MNK\) — равнобедренный; б) Найдите высоту, проведённую из вершины \(M\).

а) Найдём длины двух сторон, выходящих из вершины \(M\):

\(MN=\sqrt{(2-(-6))^2+(4-1)^2}=\sqrt{64+9}=\sqrt{73}\).

\(MK=\sqrt{(2-(-6))^2+(-2-1)^2}=\sqrt{64+9}=\sqrt{73}\).

Поскольку \(MN=MK\), треугольник равнобедренный с основанием \(NK\).

б) У точек \(N\) и \(K\) одинаковая абсцисса 2, поэтому прямая \(NK\) имеет уравнение \(x=2\). Середина основания: \(H\left(2;\frac{4+(-2)}2\right)=(2;1)\). Отрезок \(MH\) горизонтален и перпендикулярен вертикальной прямой \(NK\), значит, это высота из \(M\).

Её длина: \(MH=|2-(-6)|=8\).

Ответ: \(MN=MK=\sqrt{73}\), поэтому \(\triangle MNK\) равнобедренный; высота из \(M\) равна 8.