5. Точки А (-3;-2), В (-3;4), С (1;4) и D - вершины прямоугольника. Укажите координаты вершины D.

Решение:

Мы имеем три вершины прямоугольника: A(-3;-2), B(-3;4), C(1;4). Нам нужно найти координаты вершины D.

Способ 1: Используя свойства прямоугольника (параллельность сторон)

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Вектор AB должен быть параллелен и равен вектору DC. Вектор BC должен быть параллелен и равен вектору AD.

• Найдем вектор BC: \( C - B = (1 - (-3); 4 - 4) = (4; 0) \)
• Приложим этот вектор к точке A, чтобы найти D: \( D = A + BC = (-3; -2) + (4; 0) = (-3+4; -2+0) = (1; -2) \)

Способ 2: Используя свойство середины диагонали

Диагонали прямоугольника пересекаются в одной точке и делятся пополам. То есть, середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали BD.

• Середина AC: \( \left( \frac{-3+1}{2}; \frac{-2+4}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}; \frac{2}{2} \right) = (-1; 1) \)
• Пусть координаты D = (x; y). Середина BD: \( \left( \frac{-3+x}{2}; \frac{4+y}{2} \right) \)
• Приравниваем координаты середин:
• \( \frac{-3+x}{2} = -1 \Rightarrow -3+x = -2 \Rightarrow x = 1 \)
• \( \frac{4+y}{2} = 1 \Rightarrow 4+y = 2 \Rightarrow y = -2 \)
• Следовательно, D = (1; -2).

Ответ: D(1; -2)