5. Точка О равноудалена от всех сторон треугольника. Под каким углом из точки О видна самая длинная сторона треугольника, если его углы равны 22°, 76° и 82°?

Решение:

Точка О, равноудаленная от всех сторон треугольника, является центром вписанной окружности (инцентром).

Углы треугольника равны \( 22^{\circ} \), \( 76^{\circ} \) и \( 82^{\circ} \).

В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол, а напротив меньшей стороны — меньший угол. Соответственно, напротив самой длинной стороны лежит самый большой угол.

Самый большой угол равен \( 82^{\circ} \).

Пусть треугольник АВС имеет углы \( \angle A = 22^{\circ} \), \( \angle B = 76^{\circ} \), \( \angle C = 82^{\circ} \). Тогда самая длинная сторона — ВС.

Угол, под которым видна сторона ВС из центра вписанной окружности О, равен \( \angle BOC \).

Формула для нахождения угла, под которым видна сторона из центра вписанной окружности, выглядит так:

\( \angle BOC = 90^{\circ} + \frac{\angle A}{2} \)

\( \angle AOC = 90^{\circ} + \frac{\angle B}{2} \)

\( \angle AOB = 90^{\circ} + \frac{\angle C}{2} \)

Так как сторона ВС противоположна углу А, угол, под которым она видна из точки О, равен:

\( \angle BOC = 90^{\circ} + \frac{22^{\circ}}{2} = 90^{\circ} + 11^{\circ} = 101^{\circ} \).

Для проверки, найдем остальные углы:

\( \angle AOC = 90^{\circ} + \frac{76^{\circ}}{2} = 90^{\circ} + 38^{\circ} = 128^{\circ} \).

\( \angle AOB = 90^{\circ} + \frac{82^{\circ}}{2} = 90^{\circ} + 41^{\circ} = 131^{\circ} \).

Сумма углов вокруг точки О должна быть \( 360^{\circ} \):

\( 101^{\circ} + 128^{\circ} + 131^{\circ} = 360^{\circ} \).

Самая длинная сторона треугольника — та, которая лежит напротив самого большого угла (82°). Это сторона, напротив которой находится угол \( 82^{\circ} \). Угол, под которым видна эта сторона из центра вписанной окружности, равен:

\( \angle AOB = 90^{\circ} + \frac{82^{\circ}}{2} = 90^{\circ} + 41^{\circ} = 131^{\circ} \).

Ответ: 131.