5. Смежные углы ВОА и СОА относятся как 5 : 4, луч ОМ — биссектриса угла ВОА, луч ОК — биссектриса угла СОА. Найдите: а) ∠BOK; б) ∠MOK.

Решение:

Углы \(\angle BOA\) и \(\angle COA\) — смежные, значит, их сумма равна 180°.

Пусть \(\angle BOA = 5x\) и \(\angle COA = 4x\).

\( 5x + 4x = 180^{\circ} \)

\( 9x = 180^{\circ} \)

\( x = \frac{180^{\circ}}{9} = 20^{\circ} \)

\( \angle BOA = 5 \cdot 20^{\circ} = 100^{\circ} \)

\( \angle COA = 4 \cdot 20^{\circ} = 80^{\circ} \)

а) Найдем \(\angle BOK\):

Луч ОК — биссектриса \(\angle COA\). Значит, \(\angle COK = \angle KOA = \frac{1}{2} \angle COA = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ}\).

\(\angle BOK\) состоит из \(\angle BOA\) и \(\angle KOA\).

\( \angle BOK = \angle BOA + \angle KOA = 100^{\circ} + 40^{\circ} = 140^{\circ} \)

б) Найдем \(\angle MOK\):

Луч ОМ — биссектриса \(\angle BOA\). Значит, \(\angle BOM = \angle MOA = \frac{1}{2} \angle BOA = \frac{1}{2} \cdot 100^{\circ} = 50^{\circ}\).

Угол \(\angle MOA\) состоит из \(\angle MOK\) и \(\angle KOA\).

\( \angle MOA = \angle MOK + \angle KOA \)

\( 50^{\circ} = \angle MOK + 40^{\circ} \)

\( \angle MOK = 50^{\circ} - 40^{\circ} \)

\( \angle MOK = 10^{\circ} \)

Ответ: а) \(\angle BOK = 140^{\circ}\); б) \(\angle MOK = 10^{\circ}\).