5. Решите уравнение 4∛(x^2) - x∛(x) = 4.

Решим уравнение $$4∛(x^2) - x∛(x) = 4$$.

Это уравнение можно преобразовать, используя свойства степеней. Запишем кубические корни как степени:

\[ 4x^{2/3} - x ⋅ x^{1/3} = 4 \]

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[ x ⋅ x^{1/3} = x^1 ⋅ x^{1/3} = x^{1 + 1/3} = x^{4/3} \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ 4x^{2/3} - x^{4/3} = 4 \]

Сделаем замену переменной. Пусть $$y = x^{2/3}$$. Тогда $$y^2 = (x^{2/3})^2 = x^{4/3}$$.

Подставим $$y$$ в уравнение:

\[ 4y - y^2 = 4 \]

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ y^2 - 4y + 4 = 0 \]

Это квадратное уравнение является полным квадратом разности:

\[ (y - 2)^2 = 0 \]

Отсюда следует, что $$y - 2 = 0$$, значит, $$y = 2$$.

Теперь вернемся к замене $$y = x^{2/3}$$:

\[ x^{2/3} = 2 \]

Чтобы найти $$x$$, возведем обе части в степень $$3/2$$:

\[ (x^{2/3})^{3/2} = 2^{3/2} \]

\[ x = 2^{3/2} \]

Выражение $$2^{3/2}$$ можно записать как √(2^3) или $$(√ 2)^3$$.

\[ 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = \sqrt{4 ⋅ 2} = 2\sqrt{2} \]

Таким образом, $$x = 2\sqrt{2}$$.

Проверим решение, подставив $$x = 2\sqrt{2}$$ в исходное уравнение. Заметим, что $$x^{2/3} = (2\sqrt{2})^{2/3} = (2^{3/2})^{2/3} = 2^1 = 2$$.

Исходное уравнение: $$4x^{2/3} - x^{4/3} = 4$$.

Левая часть: $$4(2) - (2\sqrt{2})^{4/3} = 8 - ((2^{3/2})^{4/3}) = 8 - (2^{(3/2) ⋅ (4/3)}) = 8 - 2^2 = 8 - 4 = 4$$.

Правая часть равна 4. Уравнение выполняется.

Ответ: $$2\sqrt{2}$$