Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
5. Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -x+y=7 \ x^2+y^2=25 \end{cases}$$
Ответ:
Решение:
Для решения системы уравнений используем метод подстановки.
- Выразим \( y \) из первого уравнения:
\[ -x + y = 7 \]
\[ y = x + 7 \]
- Подставим полученное выражение для \( y \) во второе уравнение:
\[ x^2 + (x+7)^2 = 25 \]
- Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
\[ x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 25 \]
\[ 2x^2 + 14x + 49 - 25 = 0 \]
\[ 2x^2 + 14x + 24 = 0 \]
- Разделим всё уравнение на 2 для упрощения:
\[ x^2 + 7x + 12 = 0 \]
- Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]
- Найдём корни \( x \) по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
\[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
\[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
- Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставив найденные \( x \) в уравнение \( y = x + 7 \):
- При \( x_1 = -3 \):
\[ y_1 = -3 + 7 = 4 \]
- При \( x_2 = -4 \):
\[ y_2 = -4 + 7 = 3 \]
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: (-3; 4), (-4; 3)
Похожие
