5. Решить уравнение х⁴ + x² – 20 = 0

Решение:

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = x^2 \). Тогда \( x^4 = (x^2)^2 = y^2 \).

Уравнение примет вид:

\( y^2 + y - 20 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81 \)

Найдем корни \( y_1 \) и \( y_2 \):

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)

Теперь вернемся к замене \( y = x^2 \).

1. \( x^2 = y_1 = 4 \)

Извлечем квадратный корень:

\( x = \pm \sqrt{4} \)

\( x_1 = 2 \), \( x_2 = -2 \)

2. \( x^2 = y_2 = -5 \)

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Ответ: 2; -2