5. При каких значениях k и b гипербола \( y = \frac{k}{x} \) и прямая \( y = kx + b \) проходят через точку A(2; 1)?

Решение:

Для того чтобы точка A(2; 1) принадлежала графику функции \( y = \frac{k}{x} \), её координаты должны удовлетворять уравнению:

\( 1 = \frac{k}{2} \) \(\implies\) \( k = 2 \).

Теперь подставим найденное значение \( k = 2 \) в уравнение прямой \( y = kx + b \) и также используем координаты точки A(2; 1):

\( 1 = 2 \cdot 2 + b \) \(\implies\) \( 1 = 4 + b \) \(\implies\) \( b = 1 - 4 = -3 \).

Таким образом, для гиперболы \( k = 2 \), а для прямой \( k = 2 \) и \( b = -3 \).

Ответ: \( k = 2 \), \( b = -3 \).