5. Постройте треугольник по координатам его вершин: A(-4;7), B(-1,5; 1), C(6; 1). Какого вида этот треугольник по углам и по сторонам? Построй треугольник, симметричный этому треугольнику относительно оси абсцисс и запиши координаты его вершин.

Решение:

1. Построение треугольника и определение его вида:

Отметим точки A(-4; 7), B(-1.5; 1), C(6; 1) на координатной плоскости и соединим их.

2. Определение вида треугольника по сторонам:

Вычислим длины сторон треугольника:

\( AB = \sqrt{(-1.5 - (-4))^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{(-1.5 + 4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{(2.5)^2 + 36} = \sqrt{6.25 + 36} = \sqrt{42.25} = 6.5 \)

\( BC = \sqrt{(6 - (-1.5))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(6 + 1.5)^2 + 0^2} = \sqrt{(7.5)^2} = 7.5 \)

\( AC = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{(6 + 4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{10^2 + 36} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} \approx 11.66 \)

Поскольку все стороны имеют разную длину, треугольник разносторонний.

3. Определение вида треугольника по углам:

Заметим, что точки B и C имеют одинаковую ординату (y=1). Это означает, что сторона BC параллельна оси абсцисс.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора. Наибольшая сторона AC.

\( AB^2 + BC^2 = (6.5)^2 + (7.5)^2 = 42.25 + 56.25 = 98.5 \)

\( AC^2 = (\sqrt{136})^2 = 136 \)

Так как \( AB^2 + BC^2 \neq AC^2 \), треугольник не является прямоугольным.

Вычислим косинусы углов:

\( \cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{42.25 + 136 - 56.25}{2 \cdot 6.5 \cdot \sqrt{136}} = \frac{122}{13\sqrt{136}} \approx 0.52 \)

\( \cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{42.25 + 56.25 - 136}{2 \cdot 6.5 \cdot 7.5} = \frac{10.5}{97.5} = \frac{105}{975} = \frac{7}{65} \approx 0.108 \)

\( \cos C = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC} = \frac{56.25 + 136 - 42.25}{2 \cdot 7.5 \cdot \sqrt{136}} = \frac{150}{15\sqrt{136}} = \frac{10}{\sqrt{136}} \approx 0.857 \)

Так как все косинусы положительны, все углы острые. Следовательно, треугольник остроугольный.

4. Построение симметричного треугольника:

При симметрии относительно оси абсцисс (оси X) координаты точек изменяются следующим образом: \( (x, y) \to (x, -y) \).

Координаты вершин симметричного треугольника A'B'C':

A'(-4; -7)

B'(-1.5; -1)

C'(6; -1)

5. SVG-изображение:

Ответ: Треугольник ABC — разносторонний и остроугольный. Координаты вершин симметричного треугольника A'B'C': A'(-4; -7), B'(-1.5; -1), C'(6; -1).