5. Постройте график функции $ y = |x^2 - 9| $. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Question

$Фото задания: 5. Постройте график функции $ y = |x^2 - 9| $. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с…$ Фото задания

Accepted Answer

Построим график функции $ y = |x^2 - 9| $.

Сначала построим график функции $ y = x^2 - 9 $. Это парабола с вершиной в точке $ (0, -9) $ и пересекающая ось $ Ox $ в точках $ x = \pm 3 $.
График функции $ y = |x^2 - 9| $ получается из графика $ y = x^2 - 9 $ следующим образом: часть графика, лежащая ниже оси $ Ox $, симметрично отражается относительно оси $ Ox $.
Таким образом, нижняя часть параболы (от $ x = -3 $ до $ x = 3 $) будет поднята вверх. Вершина $ (0, -9) $ станет точкой $ (0, 9) $.

Теперь рассмотрим прямую, параллельную оси абсцисс. Такая прямая имеет вид $ y = c $, где $ c $ — константа.

Мы ищем наибольшее число общих точек графика $ y = |x^2 - 9| $ и прямой $ y = c $.

Если $ c < 0 $, прямая $ y = c $ не пересекает график $ y = |x^2 - 9| $ (так как значения функции неотрицательны). Число точек пересечения: 0.
Если $ c = 0 $, прямая $ y = 0 $ (ось $ Ox $) пересекает график в точках $ x = \pm 3 $. Число точек пересечения: 2.
Если $ 0 < c < 9 $, прямая $ y = c $ пересекает график в четырех точках (две точки от поднятой части параболы и две точки от ветвей $ y = x^2 - 9 $). Число точек пересечения: 4.
Если $ c = 9 $, прямая $ y = 9 $ пересекает график в трех точках (одна точка — вершина поднятой части $ (0, 9) $, две точки от ветвей $ y = x^2 - 9 $). Число точек пересечения: 3.
Если $ c > 9 $, прямая $ y = c $ пересекает график в двух точках (только от ветвей $ y = x^2 - 9 $). Число точек пересечения: 2.

Наибольшее число общих точек равно 4.

Ответ: Наибольшее число общих точек равно 4.

5. Постройте график функции \( y = |x^2 - 9| \). Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?