5. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, разность которых равна 21 см. Найдите радиус окружности, если длина данного перпендикуляра равна 10 см.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим диаметр окружности как $$d$$. Пусть перпендикуляр делит диаметр на отрезки $$x$$ и $$y$$. По условию, $$x - y = 21$$ см.
   Также, $$x + y = d$$.
2. Шаг 2: Выразим $$x$$ и $$y$$ через $$d$$. Сложив два уравнения: $$(x+y) + (x-y) = d + 21 \rightarrow 2x = d + 21 \rightarrow x = \frac{d+21}{2}$$.
   Вычтя второе уравнение из первого: $$(x+y) - (x-y) = d - 21 \rightarrow 2y = d - 21 \rightarrow y = \frac{d-21}{2}$$.
3. Шаг 3: Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, является высотой прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является радиус окружности. По теореме о среднем геометрическом, квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу (в данном случае, диаметр).
   То есть, $$h^2 = x \times y$$, где $$h = 10$$ см (длина перпендикуляра).
4. Шаг 4: Подставляем значения: $$10^2 = \frac{d+21}{2} \times \frac{d-21}{2}$$.
   $$100 = \frac{(d+21)(d-21)}{4}$$.
5. Шаг 5: Решаем уравнение: $$400 = d^2 - 21^2$$.
   $$400 = d^2 - 441$$.
   $$d^2 = 400 + 441 = 841$$.
   $$d = \sqrt{841} = 29$$ см.
6. Шаг 6: Радиус окружности равен половине диаметра: $$r = \frac{d}{2} = \frac{29}{2} = 14.5$$ см.

Ответ: 14.5 см