5. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, один из которых на 27 см больше другого. Найдите радиус окружности, если длина данного перпендикуляра равна 18 см.

Решение:

Пусть \( d \) — диаметр окружности. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, называется высотой, проведенной из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике, образованном радиусами и этим перпендикуляром.

Пусть отрезки, на которые диаметр делится перпендикуляром, равны \( x \) и \( x + 27 \) см.

Тогда диаметр \( d = x + (x + 27) = 2x + 27 \) см.

Радиус окружности \( r = \frac{d}{2} = \frac{2x+27}{2} \) см.

Длина перпендикуляра равна \( h = 18 \) см.

По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу (в данном случае — диаметр):

\( h^2 = x · (x + 27) \)

Подставим известные значения:

\( 18^2 = x(x+27) \)

\( 324 = x^2 + 27x \)

\( x^2 + 27x - 324 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 27^2 - 4 · 1 · (-324) = 729 + 1296 = 2025 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-27 + 45}{2 · 1} = \frac{18}{2} = 9 \)

\( x_2 = \frac{-27 - 45}{2 · 1} = \frac{-72}{2} = -36 \)

Так как \( x \) — это длина отрезка, то \( x > 0 \). Следовательно, \( x = 9 \) см.

Теперь найдем диаметр:

\( d = 2x + 27 = 2 · 9 + 27 = 18 + 27 = 45 \) см.

Найдем радиус окружности:

\( r = \frac{d}{2} = \frac{45}{2} = 22.5 \) см.

Ответ: 22.5 см.