Контрольные задания
Вопрос:

5. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной 20 см и основанием 24 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 45°. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Фото задания: 5. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной 20 см и основанием 24 см. Двугранные углы…Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Дано: Основание пирамиды — равнобедренный треугольник \( ABC \), где \( AB = AC = 20 \) см, \( BC = 24 \) см. Двугранные углы при рёбрах основания \( 45^{\circ} \).
  2. Найти: Объём вписанного конуса \( V_{кон} \).
  3. Объём конуса: \( V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания конуса, \( h \) — высота конуса (которая совпадает с высотой пирамиды).
  4. Рассмотрим основание пирамиды (равнобедренный треугольник \( ABC \)). Найдём его высоту \( h_{осн} \) к основанию \( BC \). Пусть \( M \) — середина \( BC \). Тогда \( BM = MC = 12 \) см. В прямоугольном треугольнике \( ABM \): \( AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \) см.
  5. Площадь основания пирамиды \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 12 \cdot 16 = 192 \) см2.
  6. Радиус вписанной окружности в треугольник \( ABC \) является радиусом основания конуса \( r \). Радиус вписанной окружности \( r = \frac{S_{осн}}{p} \), где \( p \) — полупериметр треугольника.
  7. Периметр \( P = AB + AC + BC = 20 + 20 + 24 = 64 \) см. Полупериметр \( p = \frac{64}{2} = 32 \) см.
  8. Радиус вписанной окружности \( r = \frac{192}{32} = 6 \) см.
  9. Двугранный угол при ребре основания пирамиды равен углу между высотой основания \( AM \) и апофемой боковой грани. Пусть \( H \) — вершина пирамиды. Угол между апофемой \( HM \) и высотой основания \( AM \) равен \( 45^{\circ} \).
  10. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( HMA \), где \( AM = 16 \) см — катет, \( HM \) — апофема, \( HA \) — боковое ребро, \( HMA = 45^{\circ} \).
  11. Высота пирамиды \( h = HM \). \( \text{tg}(45^{\circ}) = \frac{HM}{AM} \).
  12. Так как \( \text{tg}(45^{\circ}) = 1 \), то \( HM = AM = 16 \) см.
  13. Таким образом, высота конуса \( h = 16 \) см.
  14. Теперь найдём объём вписанного конуса: \( V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 16 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 16 = \pi \cdot 12 \cdot 16 = 192\pi \) куб. см.

Ответ: \( 192\pi \) см3.