1. Радиус основания цилиндра равен 2√2 см, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём цилиндра.

Решение:

1. Дано: Радиус основания цилиндра \( r = 2\sqrt{2} \) см, угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания \( \alpha = 45^{\circ} \).
2. Найти: Объём цилиндра \( V_{цил} \).
3. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника равна \( d \). Диагональ осевого сечения, радиус основания и высота цилиндра образуют прямоугольный треугольник. Также диагональ осевого сечения, диаметр основания и высота цилиндра образуют прямоугольный треугольник.
4. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю осевого сечения, диаметром основания и высотой цилиндра, угол между диагональю и диаметром равен 45°.
5. Тангенс угла 45° равен отношению противолежащего катета (высоты цилиндра \( H \)) к прилежащему катету (диаметру основания \( D \)). \( \text{tg} 45^{\circ} = \frac{H}{D} \).
6. Так как \( \text{tg} 45^{\circ} = 1 \), то \( H = D \).
7. Диаметр основания \( D = 2r = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \) см.
8. Следовательно, высота цилиндра \( H = 4\sqrt{2} \) см.
9. Объём цилиндра вычисляется по формуле: \( V_{цил} = \pi r^2 H \).
10. Подставляем значения: \( V_{цил} = \pi \cdot (2\sqrt{2})^2 \cdot 4\sqrt{2} = \pi \cdot (4 \cdot 2) \cdot 4\sqrt{2} = \pi \cdot 8 \cdot 4\sqrt{2} = 32\sqrt{2}\pi \) куб. см.

Ответ: \( 32\sqrt{2}\pi \) см³.