5. Объёмы двух шаров относятся как 8 : 125. Найдите отношение площадей их поверхностей.

Решение:

Объём шара находится по формуле \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \).

Площадь поверхности шара находится по формуле \( S = 4 \pi R^2 \).

Пусть \( V_1 \) и \( V_2 \) — объёмы двух шаров, \( R_1 \) и \( R_2 \) — их радиусы, \( S_1 \) и \( S_2 \) — площади их поверхностей.

По условию \( \frac{V_1}{V_2} = \frac{8}{125} \).

\( \frac{\frac{4}{3} \pi R_1^3}{\frac{4}{3} \pi R_2^3} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = \frac{8}{125} \).

Из этого следует, что отношение радиусов равно:

\( \frac{R_1}{R_2} = \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{2}{5} \).

Теперь найдём отношение площадей их поверхностей:

\( \frac{S_1}{S_2} = \frac{4 \pi R_1^2}{4 \pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 \).

Подставим найденное отношение радиусов:

\( \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} \).

Ответ: 4 : 25