5. На стороне AB треугольника АВС отметили точку М так, что BM = CM. Отрезок МК — биссектриса треугольника АМС. Докажите, что МК || BC.

Решение:

Дано: \( Δ ABC \), \( M ∈ AB \), \( BM = CM \), \( MK \) — биссектриса \( ∠ AMC \). Доказать: \( MK Ⅴ BC \).

1. Рассмотрим \( Δ BMC \). Так как \( BM = CM \), то \( Δ BMC \) — равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: \( ∠ MBC = ∠ MCB \).
2. \( ∠ MBC \) является углом \( ∠ ABC \) треугольника \( Δ ABC \).
3. \( ∠ MCB \) — это угол, смежный с углом \( ∠ AMC \) (если \( C \) лежит на прямой \( AB \), но по условию \( M \) на \( AB \) и \( C \) — вершина, то \( ∠ MCB \) — это угол \( ∠ ACB \) треугольника \( Δ ABC \) или часть его. Ошибка в трактовке. Переформулируем:
4. В \( Δ BMC \), \( BM = CM \). Следовательно \( ∠ MBC = ∠ MCB \).
5. \( ∠ MBC \) — это \( ∠ ABC \).
6. \( ∠ MCB \) — это угол, образованный отрезком \( MC \) и основанием \( BC \).
7. Так как \( MK \) — биссектриса \( ∠ AMC \), то \( ∠ AMK = ∠ KMC \).
8. Рассмотрим \( ∠ AMC \). Это внешний угол треугольника \( Δ BMC \) при вершине \( M \). Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. \( ∠ AMC = ∠ MBC + ∠ MCB \).
9. Поскольку \( ∠ MBC = ∠ MCB \), то \( ∠ AMC = 2 ∠ MBC \).
10. Так как \( ∠ AMK = ∠ KMC \), то \( ∠ KMC = \frac{1}{2} ∠ AMC \).
11. Подставим значение \( ∠ AMC \): \( ∠ KMC = \frac{1}{2} (2 ∠ MBC) = ∠ MBC \).
12. Итак, мы получили, что \( ∠ KMC = ∠ MBC \).
13. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых \( MK \) и \( BC \) и секущей \( MC \).
14. Так как внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые \( MK \) и \( BC \) параллельны.

Доказано.