5. На рисунке прямая АС касается окружности с центром О в точке А. Найдите угол ВАС, если угол АОВ равна 108°.

Задание 5

Дано:

• Окружность с центром O.
• Прямая AC касается окружности в точке A.
• Угол AOB = 108°.

Найти: Угол BAC.

Решение:

Так как прямая AC касается окружности в точке A, то радиус OA перпендикулярен касательной AC. Это означает, что угол OAC равен 90°.

\[ \angle OAC = 90^\circ \]

Теперь рассмотрим треугольник AOB. В этом треугольнике OA и OB являются радиусами окружности, поэтому OA = OB. Следовательно, треугольник AOB – равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием здесь является отрезок AB, а углами при основании – углы OAB и OBA.

Угол при вершине AOB равен 108°. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем углы при основании:

\[ \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ - \angle AOB \]

\[ \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ - 108^\circ \]

\[ \angle OAB + \angle OBA = 72^\circ \]

Так как \( \angle OAB = \angle OBA \), то:

\[ \angle OAB = \angle OBA = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ \]

Теперь мы можем найти угол BAC. Мы знаем, что угол OAC = 90° и угол OAB = 36°.

\[ \angle BAC = \angle OAC - \angle OAB \]

\[ \angle BAC = 90^\circ - 36^\circ \]

\[ \angle BAC = 54^\circ \]

Ответ: Угол BAC равен 54°.