5. На каком рисунке изображено множество решений неравенства x² - 17x + 72 < 0?

Задание 5. Множество решений неравенства

Для решения неравенства \( x^2 - 17x + 72 < 0 \) нам нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 - 17x + 72 = 0 \) и определить, на каких интервалах график параболы \( y = x^2 - 17x + 72 \) находится ниже оси Ox.

1. Найдем корни уравнения \( x^2 - 17x + 72 = 0 \). Можно использовать теорему Виета или формулу дискриминанта.
• По теореме Виета:
• Сумма корней \( x_1 + x_2 = -(-17) = 17 \)
• Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = 72 \)
• Подбираем числа, которые в сумме дают 17, а в произведении 72. Это числа 8 и 9 (8 + 9 = 17, 8 * 9 = 72).
• Через дискриминант:
• \( D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 289 - 288 = 1 \)
• \( \sqrt{D} = \sqrt{1} = 1 \)
• \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 1}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8 \)
• \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9 \)
• Итак, корни уравнения равны 8 и 9.
2. Теперь построим параболу \( y = x^2 - 17x + 72 \). Коэффициент при \( x^2 \) равен 1 (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх.
3. Парабола пересекает ось Ox в точках 8 и 9.
4. Неравенство \( x^2 - 17x + 72 < 0 \) означает, что нам нужно найти значения \( x \), при которых значения функции \( y \) отрицательны, то есть график находится ниже оси Ox.
5. Так как ветви параболы направлены вверх, функция отрицательна между корнями.
6. Следовательно, множество решений неравенства — это интервал \( (8; 9) \).
7. На рисунке, где изображено множество решений, должен быть показан интервал между 8 и 9, исключая сами точки 8 и 9 (так как неравенство строгое '<').
8. Рисунок 3 соответствует этому условию: интервал от 8 до 9, показанный стрелками, указывающими на включение значений между 8 и 9.

Ответ: 3