5. Известно, что <АВС=120°. Найдите <АОС, где точка О-центр окружности. Ответ дайте в градусах.

Задание 5

Условие: Известно, что \( \angle ABC = 120^{\circ} \). Найдите \( \angle AOC \), где точка О – центр окружности. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол ABC является вписанным углом, а угол AOC является центральным углом. Оба угла опираются на одну и ту же дугу AC.

Однако, вписанный угол, опирающийся на дугу, может быть острым или тупым. Если вписанный угол тупой (больше 90°), он опирается на большую дугу, а центральный угол, опирающийся на ту же дугу, будет тупым. В данном случае \( \angle ABC = 120^{\circ} \), что больше 180°/2 = 90°, значит, он опирается на большую дугу AC.

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно, большая дуга AC равна:

\( \text{measure of major arc } AC = 2 \cdot \angle ABC \)

\( \text{measure of major arc } AC = 2 \cdot 120^{\circ} = 240^{\circ} \)

Центральный угол \( \angle AOC \) может быть как острым, так и тупым. Если мы ищем угол \( \angle AOC \) как угол, опирающийся на ту же дугу, что и \( \angle ABC \), то это должен быть тупой угол, равный градусной мере большей дуги AC.

\( \angle AOC = \text{measure of major arc } AC \)

\( \angle AOC = 240^{\circ} \)

Однако, в геометрии обычно под \( \angle AOC \) подразумевают наименьший угол (меньше 180°), если не указано иное. В таком случае, \( \angle AOC \) опирается на меньшую дугу AC.

Градусная мера полной окружности равна 360°. Найдем градусную меру меньшей дуги AC:

\( \text{measure of minor arc } AC = 360^{\circ} - \text{measure of major arc } AC \)

\( \text{measure of minor arc } AC = 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ} \)

Если \( \angle ABC = 120^{\circ} \) опирается на большую дугу AC, то центральный угол, опирающийся на меньшую дугу AC, будет равен меньшей дуге AC.

\( \angle AOC_{\text{minor}} = \text{measure of minor arc } AC \)

\( \angle AOC_{\text{minor}} = 120^{\circ} \)

В задачах такого типа, если не указано, что угол вписанный тупой, то ищут меньший угол. Предполагаем, что \( \angle ABC \) - это угол, опирающийся на меньшую дугу, тогда \( 120^{\circ} \) - это неверно. Если \( \angle ABC \) - это угол, опирающийся на бОльшую дугу, то \( \angle AOC \) (меньший) = \( 360^{\circ} - 2 * 120^{\circ} = 120^{\circ} \).

Если \( \angle ABC = 120^{\circ} \) является вписанным углом, то он опирается на дугу AC. Градусная мера этой дуги равна \( 2 \times 120^{\circ} = 240^{\circ} \). Это большая дуга AC. Центральный угол \( \angle AOC \), опирающийся на меньшую дугу AC, будет равен \( 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ} \).

Ответ: 120.