5. Исследуйте и постройте график функции f(x)= x³-3x²-9x

Исследование функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x \):

1. Область определения: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \)
2. Производная:
   \( f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 9x)' = 3x^2 - 6x - 9 \)
3. Критические точки (где \( f'(x) = 0 \)):
   \( 3x^2 - 6x - 9 = 0 \)
   \( x^2 - 2x - 3 = 0 \)
   \( (x-3)(x+1) = 0 \)
   \( x_1 = 3, x_2 = -1 \)
4. Промежутки монотонности:
   
   • При \( x < -1 \) (например, \( x=-2 \)): \( f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 \) (функция возрастает).
   • При \( -1 < x < 3 \) (например, \( x=0 \)): \( f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 < 0 \) (функция убывает).
   • При \( x > 3 \) (например, \( x=4 \)): \( f'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 \) (функция возрастает).
5. Экстремумы:
   
   • \( x = -1 \) — точка максимума. \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5 \) (точка максимума: \( (-1; 5) \)).
   • \( x = 3 \) — точка минимума. \( f(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27 \) (точка минимума: \( (3; -27) \)).
6. Вычисление значений в характерных точках для построения графика:
   
   • \( f(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 9(0) = 0 \) (точка \( (0; 0) \)).
   • \( f(-1) = 5 \) (точка максимума \( (-1; 5) \)).
   • \( f(3) = -27 \) (точка минимума \( (3; -27) \)).

Построение графика:

Ответ: График функции — кубическая парабола с точкой максимума \( (-1; 5) \) и точкой минимума \( (3; -27) \). Функция возрастает на \( (-\infty; -1) \) и \( (3; +\infty) \), убывает на \( (-1; 3) \).