2. Найдите производные функции. a) y=xctgx b) Y= (5x=1)⁷

Решение:

Используем правила дифференцирования:

• Производная произведения \( (uv)' = u'v + uv' \).
• Производная \( (ctgx)' = -\frac{1}{\sin^2{x}} \).
• Производная сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

1. \( y = x \textrm{ctg}x \)
   Применим правило произведения: \( u = x, v = \textrm{ctg}x \).
   \( u' = 1 \)
   \( v' = -\frac{1}{\sin^2{x}} \)
   \( y' = 1 \cdot \textrm{ctg}x + x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2{x}}\right) = \textrm{ctg}x - \frac{x}{\sin^2{x}} \)
2. \( Y = (5x-1)^7 \)
   Применим правило сложной функции: \( f(u) = u^7, g(x) = 5x-1 \).
   \( f'(u) = 7u^6 \)
   \( g'(x) = 5 \)
   \( Y' = 7(5x-1)^6 \cdot 5 = 35(5x-1)^6 \)

Ответ: a) \( \textrm{ctg}x - \frac{x}{\sin^2{x}} \); б) \( 35(5x-1)^6 \).