5. In the figure, point M is the midpoint of segments AC and BD. Prove that lines BC and AD are parallel.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( Δ AM D \) и \( Δ CMB \).

По условию, \( M \) — середина \( AC \) и \( BD \). Это означает, что:

• \( AM = MC \)
• \( BM = MD \)

Углы \( < AMD \) и \( < CMB \) являются вертикальными углами, поэтому они равны:

• \( < AMD = < CMB \)

Таким образом, у нас есть два равенства сторон и равенство угла между ними. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники \( Δ AMD \) и \( Δ CMB \) равны:

• \( Δ AMD = Δ CMB \)

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов:

• \( < MAD = < MCB \)
• \( < MDA = < MBC \)

Рассмотрим углы \( < MAD \) и \( < MCB \). Они являются накрест лежащими при прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AC \). Поскольку эти углы равны, то прямые \( AD \) и \( BC \) параллельны.

Что и требовалось доказать.