4. In the figure, segment PK is parallel to side BC, ray PM is the bisector of angle KPD. Find the measure of angle PMD.

Решение:

Дан рисунок с треугольником \( Δ BCD \), где \( PK | | BC \), а \( PM \) — биссектриса \( < KPD \). Из рисунка видно, что \( < BPK = 50° \) и \( < C = 70° \).

Так как \( PK | | BC \), то \( < PKB = < KBC \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых \( PK \) и \( BC \) и секущей \( BK \)).

В \( Δ BCD \) сумма углов равна 180°. Найдём \( < D \):

\[ < D = 180° - < B - < C \]\[ < D = 180° - 50° - 70° \]\[ < D = 180° - 120° \]\[ < D = 60° \]

Поскольку \( PK | | BC \), то \( < PKD = < BCD = 70° \) (соответственные углы при параллельных прямых \( PK \) и \( BC \) и секущей \( CD \)).

\( PM \) — биссектриса \( < KPD \), значит, \( < KPM = < MPD = < KPD / 2 \).

Угол \( < KPD \) смежный с углом \( < PKD \). Следовательно,

\[ < KPD = 180° - < PKD \]\[ < KPD = 180° - 70° \]\[ < KPD = 110° \]

Теперь найдём \( < MPD \):

\[ < MPD = 110° / 2 = 55° \]

Рассмотрим \( Δ PMD \). У нас есть \( < D = 60° \) и \( < MPD = 55° \). Найдём \( < PMD \):

\[ < PMD = 180° - (< D + < MPD) \]\[ < PMD = 180° - (60° + 55°) \]\[ < PMD = 180° - 115° \]\[ < PMD = 65° \]

Ответ: 65°