5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, радиус вписанной окружности – 2 см. Найдите площадь треугольника.

Дано:

• Прямоугольный треугольник
• Гипотенуза c = 10 см
• Радиус вписанной окружности r = 2 см

Найти: Площадь треугольника (S)

Решение:

1. Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:
   \[ r = \frac{a + b - c}{2} \], где a и b — катеты, c — гипотенуза.
2. Найдем сумму катетов:
   \[ 2 = \frac{a + b - 10}{2} \]
   \[ 4 = a + b - 10 \]
   \[ a + b = 14 \] см
3. Площадь прямоугольного треугольника:
   \[ S = \frac{1}{2} ab \]
4. Теорема Пифагора:
   \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
   \[ a^2 + b^2 = 10^2 = 100 \]
5. Возведем в квадрат сумму катетов:
   \[ (a + b)^2 = 14^2 \]
   \[ a^2 + 2ab + b^2 = 196 \]
6. Подставим известные значения:
   \[ (a^2 + b^2) + 2ab = 196 \]
   \[ 100 + 2ab = 196 \]
   \[ 2ab = 196 - 100 \]
   \[ 2ab = 96 \]
   \[ ab = 48 \]
7. Найдем площадь:
   \[ S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} (48) = 24 \] см²

Ответ: 24 см²