5. Докажите, что значение выражения ((√7/(√7+3)) - (5/(3-√7))) (√7-11) является рациональным числом.

Решение:

Упростим выражение в первых скобках:

\( \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+3} - \frac{5}{3-\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}(3-\sqrt{7}) - 5(\sqrt{7}+3)}{(\sqrt{7}+3)(3-\sqrt{7})} \)

Числитель:

\( 3\sqrt{7} - (\sqrt{7})^2 - 5\sqrt{7} - 15 = 3\sqrt{7} - 7 - 5\sqrt{7} - 15 = -2\sqrt{7} - 22 \)

Знаменатель (разность квадратов):

\( (3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2 \)

Таким образом, выражение в первых скобках равно:

\( \frac{-2\sqrt{7} - 22}{2} = -\sqrt{7} - 11 \)

Теперь умножим полученное выражение на \( (\sqrt{7}-11) \):

\( (-\sqrt{7} - 11)(\sqrt{7} - 11) = -(\sqrt{7} + 11)(\sqrt{7} - 11) \)

Используем формулу разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \):

\( -( (\sqrt{7})^2 - 11^2 ) = -(7 - 121) = -(-114) = 114 \)

Число 114 является рациональным числом.

Ответ: Значение выражения равно 114, что является рациональным числом.