4. Пересекает ли прямая y=x-2 график функции y = √x ? Если пересекает, то в какой точке?

Решение:

Чтобы найти точки пересечения прямой \( y = x - 2 \) и графика функции \( y = \sqrt{x} \), приравняем правые части уравнений:

\( x - 2 = \sqrt{x} \)

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (x - 2)^2 = (\sqrt{x})^2 \)

\( x^2 - 4x + 4 = x \)

\( x^2 - 5x + 4 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \)

\( x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \)

Проверим полученные корни в исходном уравнении \( x - 2 = \sqrt{x} \):

• При \( x = 4 \): \( 4 - 2 = 2 \) и \( \sqrt{4} = 2 \). \( 2 = 2 \) — подходит.
• При \( x = 1 \): \( 1 - 2 = -1 \) и \( \sqrt{1} = 1 \). \( -1 \neq 1 \) — не подходит.

Таким образом, существует одна точка пересечения при \( x = 4 \). Найдем значение \( y \):

\( y = \sqrt{4} = 2 \).

Ответ: Да, прямая пересекает график функции в точке (4; 2).