5. Докажите, что значение выражения (3/(2-√5) - √5/(2+√5)) * (√5-11) является рациональным числом.

Решение:

Упростим выражение в первой скобке:

\( \frac{3}{2-\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} = \frac{3(2+\sqrt{5}) - \sqrt{5}(2-\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} = \frac{6+3\sqrt{5} - 2\sqrt{5}+5}{2^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{11+\sqrt{5}}{4-5} = \frac{11+\sqrt{5}}{-1} = -(11+\sqrt{5}) \)

Теперь умножим полученное выражение на вторую скобку:

\( -(11+\sqrt{5})(\sqrt{5}-11) = -(\( \sqrt{5}+11 \))(\( \sqrt{5}-11 \)) \)

Используем формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2-b^2 \):

\( - ((\sqrt{5})^2 - 11^2) = -(5 - 121) = -(-116) = 116 \)

Число 116 является рациональным.

Ответ: Значение выражения равно 116, что является рациональным числом.