5. Докажите, что верно равенство (a + c) (a - c) - b (2a - b) - (a - b + c) (a - b - c) = 0.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Раскрываем первую скобку, используя формулу разности квадратов $$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$$:
   $$(a + c)(a - c) = a^2 - c^2$$
2. Шаг 2: Раскрываем вторую скобку:
   $$-b(2a - b) = -2ab + b^2$$
3. Шаг 3: Раскрываем третью скобку. Для этого удобно представить $$(a - b + c)$$ как $$((a - b) + c)$$ и $$(a - b - c)$$ как $$((a - b) - c)$$. Используем формулу разности квадратов:
   $$((a - b) + c)((a - b) - c) = (a - b)^2 - c^2$$
   Раскрываем квадрат разности $$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$$:
   $$(a - b)^2 - c^2 = (a^2 - 2ab + b^2) - c^2 = a^2 - 2ab + b^2 - c^2$$
4. Шаг 4: Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное равенство:
   $$(a^2 - c^2) - (-2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2 - c^2) = 0$$
5. Шаг 5: Раскрываем оставшиеся скобки:
   $$a^2 - c^2 + 2ab - b^2 - a^2 + 2ab - b^2 + c^2 = 0$$
6. Шаг 6: Приводим подобные слагаемые:
   $$(a^2 - a^2) + (-c^2 + c^2) + (2ab + 2ab) + (-b^2 - b^2) = 0$$
   $$0 + 0 + 4ab - 2b^2 = 0$$
7. Примечание: В условии задачи, вероятно, есть опечатка, так как при корректном раскрытии скобок получается $$4ab - 2b^2$$. Если бы в третьей скобке было $$(a - b - c)$$ и $$(a - b + c)$$, то это было бы $$(a - b)^2 - c^2$$, что и было раскрыто. Однако, если бы условие было $$(a+b+c)(a+b-c)$$ то это давало бы $$(a+b)^2 - c^2$$. Если же изначальное условие $$(a + c) (a - c) - b (2a - b) - (a - b + c) (a - b - c) = 0$$ верно, то для получения нуля, возможно, в третьей части должно быть что-то другое, например, $$- (a - b)^2 + c^2$$.
   Проверим еще раз условие: $$(a + c) (a - c) - b (2a - b) - (a - b + c) (a - b - c) = 0$$.
   $$a^2 - c^2 - (2ab - b^2) - ((a-b)^2 - c^2) = 0$$
   $$a^2 - c^2 - 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2 - c^2) = 0$$
   $$a^2 - c^2 - 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 + c^2 = 0$$
   $$(a^2 - a^2) + (-c^2 + c^2) + (-2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 0$$
   $$0 + 0 + 0 + 0 = 0$$.
8. Вывод: Равенство верно.

Ответ: Равенство верно, так как после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получается 0.