5. Докажите, что при любых значениях переменных верно равенство (a-x)(a+x)-b(b+2x)-(a-b-x)(a+b+x)=0.

Решение:

Раскроем каждую часть выражения отдельно, используя формулы сокращенного умножения и правила раскрытия скобок:

1. Первое слагаемое: \( (a-x)(a+x) \). Это разность квадратов, поэтому \( (a-x)(a+x) = a^2 - x^2 \).
2. Второе слагаемое: \( -b(b+2x) \). Раскроем скобки: \( -b \cdot b - b \cdot 2x = -b^2 - 2bx \).
3. Третье слагаемое: \( -(a-b-x)(a+b+x) \). Заметим, что \( (a+b+x) = (a+(b+x)) \) и \( (a-b-x) = (a-(b+x)) \). Это тоже разность квадратов, где \( A = a \) и \( B = (b+x) \). Тогда \( (a-(b+x))(a+(b+x)) = a^2 - (b+x)^2 \). Раскроем квадрат суммы: \( a^2 - (b^2 + 2bx + x^2) = a^2 - b^2 - 2bx - x^2 \). Теперь учтем знак минус перед всем выражением: \( -(a^2 - b^2 - 2bx - x^2) = -a^2 + b^2 + 2bx + x^2 \).
4. Соберем все части вместе: \( (a^2 - x^2) + (-b^2 - 2bx) + (-a^2 + b^2 + 2bx + x^2) \).
5. Упростим выражение, группируя подобные члены: \( a^2 - x^2 - b^2 - 2bx - a^2 + b^2 + 2bx + x^2 \).
6. Сократим противоположные члены: \( (a^2 - a^2) + (-x^2 + x^2) + (-b^2 + b^2) + (-2bx + 2bx) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \).

Таким образом, мы доказали, что данное равенство верно при любых значениях переменных.

Ответ: Равенство доказано.