5. Докажите, что при любых значениях букв верно равенство: (x - y)(x + y) - (a- x + y)(a - x - y) – a(2x – a) = 0.

Решение:

Раскроем скобки и упростим левую часть равенства:

1. Первая часть: \( (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 \) (формула разности квадратов).
2. Вторая часть: \( (a - x + y)(a - x - y) \). Пусть \( k = a - x \). Тогда выражение будет \( (k + y)(k - y) = k^2 - y^2 \). Подставим \( k \) обратно: \( (a - x)^2 - y^2 = a^2 - 2ax + x^2 - y^2 \).
3. Третья часть: \( -a(2x - a) = -2ax + a^2 \).
4. Теперь сложим все части: \( (x^2 - y^2) - (a^2 - 2ax + x^2 - y^2) - (2ax - a^2) \).
5. Раскроем все скобки, меняя знаки там, где стоит минус перед скобкой: \( x^2 - y^2 - a^2 + 2ax - x^2 + y^2 - 2ax + a^2 \).
6. Приведём подобные слагаемые: \( (x^2 - x^2) + (-y^2 + y^2) + (-a^2 + a^2) + (2ax - 2ax) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \).

Левая часть равна правой части, следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.