5. Даны окружность с центром О радиуса 6 см и точка М. Через точку М проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОМ = 12 см

Задание 5. Угол между касательными

Дано:

• Окружность с центром \( O \) и радиусом \( r = 6 \) см.


• Точка \( M \) вне окружности, \( OM = 12 \) см.


• Через \( M \) проведены две касательные к окружности.

Найти: угол между касательными.

Решение:

1. Пусть \( A \) и \( B \) — точки касания. \( OA \) и \( OB \) — радиусы, проведенные в точки касания.


2. \( OA \perp MA \) и \( OB \perp MB \) (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).


3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( OAM \). Мы знаем \( OA = r = 6 \) см и \( OM = 12 \) см.


4. Найдем синус угла \( \angle OMA \): \( \sin(\angle OMA) = \frac{OA}{OM} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \).


5. Отсюда следует, что \( \angle OMA = 30^{\circ} \).


6. Аналогично, в прямоугольном треугольнике \( OBM \), \( \angle OMB = 30^{\circ} \).


7. Угол между касательными \( MA \) и \( MB \) равен \( \angle AMB \).


8. \( \angle AMB = \angle OMA + \angle OMB = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: угол между касательными равен 60°.