4. Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE.

Задание 4. Расстояние от вершины до прямой

Дано:

• Прямоугольный треугольник \( CDE \).


• \( CE \) — гипотенуза, \( CD \) — катет.


• \( CE + CD = 31 \) см.


• \( CE - CD = 3 \) см.

Найти: расстояние от вершины \( C \) до прямой \( DE \).

Решение:

1. Решим систему уравнений, чтобы найти длины \( CE \) и \( CD \):


2. \( \begin{cases} CE + CD = 31 \\ CE - CD = 3 \end{cases} \)


3. Сложим уравнения: \( 2CE = 34 \Rightarrow CE = 17 \) см.


4. Вычтем второе уравнение из первого: \( 2CD = 28 \Rightarrow CD = 14 \) см.


5. Теперь найдем длину второго катета \( DE \) по теореме Пифагора: \( DE^2 = CE^2 - CD^2 = 17^2 - 14^2 = 289 - 196 = 93 \).


6. \( DE = \sqrt{93} \) см.


7. Расстояние от вершины \( C \) до прямой \( DE \) — это высота \( h \), проведенная к гипотенузе \( DE \) из вершины \( C \) в прямоугольном треугольнике \( CDE \).


8. Площадь треугольника \( CDE \) можно найти двумя способами:


9. \( S = \frac{1}{2} × CD × DE = \frac{1}{2} × 14 × \sqrt{93} = 7\sqrt{93} \) см².


10. \( S = \frac{1}{2} × DE × h \) (где \( h \) — высота, проведенная к гипотенузе).


11. Приравниваем площади: \( \frac{1}{2} × 14 × \sqrt{93} = \frac{1}{2} × \sqrt{93} × h \).


12. \( 14\sqrt{93} = \sqrt{93} × h \).


13. \( h = \frac{14\sqrt{93}}{\sqrt{93}} = 14 \) см.

Ответ: расстояние от вершины С до прямой DE равно 14 см.