5. BM — медиана, NK — средняя линия треугольника ABC, N ∈ AB, K ∈ BC. Докажите, что NBKM — параллелограмм.

Так как BM — медиана, M — середина AC. Поскольку NK — средняя линия и N ∈ AB, K ∈ BC, точки N и K — середины AB и BC.

В треугольнике ABC отрезок NK соединяет середины AB и BC, поэтому NK ∥ AC. Так как K и M — середины BC и AC, отрезок KM — средняя линия, следовательно, KM ∥ AB. Отсюда NK ∥ AM и NB ∥ KM.

Кроме того, N и M — середины AB и AC, поэтому NM — средняя линия треугольника ABC и NM ∥ BC. Следовательно, NM ∥ BK.

В четырёхугольнике NBKM обе пары противоположных сторон параллельны: NB ∥ KM и BK ∥ NM. Значит, NBKM — параллелограмм.

Доказано.