4 Тип 16 i На отрезке АВ вы- брана точка С так, что АС = 14 И ВС = 36. По- строена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности. Ответ:

Решение:

Окружность с центром А проходит через точку С. Следовательно, радиус этой окружности равен \( AC = 14 \).

Отрезок \( BC \) является касательной к окружности. Радиус \( AC \) перпендикулярен касательной \( BC \) в точке касания \( C \). Таким образом, \( \triangle ACB \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( \angle ACB \).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \( ACB \): \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

Длина отрезка \( AB \) равна сумме \( AC + CB = 14 + 36 = 50 \).

\( 50^2 = 14^2 + BC^2 \) (ошибка в рассуждении. \( BC \) - это касательная, а \( AB \) - гипотенуза)

Правильное рассуждение:

Радиус окружности \( r = AC = 14 \).

Точка \( B \) находится на расстоянии \( AB = AC + CB = 14 + 36 = 50 \) от центра \( A \).

Так как \( BC \) — касательная к окружности, то радиус \( AC \) перпендикулярен касательной \( BC \) в точке касания \( C \). Треугольник \( ACB \) — прямоугольный с прямым углом \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

По теореме Пифагора для \( \triangle ACB \): \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

Подставляем известные значения:

\( 50^2 = 14^2 + BC^2 \)

\( 2500 = 196 + BC^2 \)

\( BC^2 = 2500 - 196 \)

\( BC^2 = 2304 \)

\( BC = \sqrt{2304} = 48 \).

Ответ: 48