41. На рисунке 215 ∠MPD = 103°, ∠FPK = 49°. Найдите угол EPT.

Точки M, P, K лежат на одной прямой, а E, P, F — на другой. Поэтому вертикальные углы ∠MPF и ∠EPK равны, а смежные углы ∠MPF и ∠FPK в сумме дают 180°.

∠MPF = 180° − 49° = 131°.

Луч PD расположен внутри угла MPF, значит ∠MPF = ∠MPD + ∠DPF. Отсюда ∠DPF = 131° − 103° = 28°.

Из рисунка лучи PE и PD образуют угол ∠EPD, вертикальный к углу ∠MPK. Угол ∠MPK = ∠MPD + ∠DPK, где ∠DPK = ∠DPF + ∠FPK = 28° + 49° = 77°. Поэтому ∠MPK = 103° + 77° = 180° — это невозможно для данного расположения лучей; корректнее использовать смежность ∠MPD и ∠DPK: их сумма равна ∠MPK, а по рисунку ∠MPK — угол между лучами PM и PK, то есть 180°.

Следовательно, ∠DPK = 180° − ∠MPD = 77°. Тогда ∠FPK = 49° и ∠DPF = 28°. Угол ∠EPD вертикален ∠MPK и равен 180°, но искомый ∠EPT определяется как ∠EPD? На рисунке T лежит на продолжении PD, поэтому ∠EPT = 180° − ∠EPD.

Ответ: по рисунку луч PT — продолжение PD, и ∠EPT = 77°.