4. Вычислите: \( \frac{3^{-9} \cdot 9^{-4}}{27^{-6}} \)

Пояснение:

Для вычисления этого выражения удобно привести все числа к одному основанию, а затем использовать свойства степеней:

• Произведение степеней: a^m ⋅ aⁿ = a^m+n
• Деление степеней: a^m : aⁿ = a^m-n
• Возведение степени в степень: (a^m)ⁿ = a^m⋅n
• Отрицательная степень: a^-n = 1/aⁿ

Все числа (3, 9, 27) можно представить как степени числа 3:

• 9 = 3²
• 27 = 3³

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Заменим 9 и 27 в выражении степенями числа 3:
   \( \frac{3^{-9} \cdot (3^{2})^{-4}}{(3^{3})^{-6}} \)
2. Шаг 2: Применим правило возведения степени в степень:
   \( \frac{3^{-9} \cdot 3^{2 \cdot -4}}{3^{3 \cdot -6}} = \frac{3^{-9} \cdot 3^{-8}}{3^{-18}} \)
3. Шаг 3: Применим правило умножения степеней в числителе:
   \( \frac{3^{-9 + (-8)}}{3^{-18}} = \frac{3^{-17}}{3^{-18}} \)
4. Шаг 4: Применим правило деления степеней:
   \( 3^{-17 - (-18)} = 3^{-17 + 18} = 3^{1} \)
5. Шаг 5: Вычислим окончательный результат:
   \( 3^{1} = 3 \)

Ответ: 3