4. Вычислите: \(\frac{3^{-9} \cdot 9^{-4}}{27^{-5}}\).

Решение:

Приведём все основания степени к основанию 3:

\( 9 = 3^2 \)

\( 27 = 3^3 \)

Подставим в выражение:

\[ \frac{3^{-9} \cdot (3^2)^{-4}}{(3^3)^{-5}} = \frac{3^{-9} \cdot 3^{2 \cdot (-4)}}{3^{3 \cdot (-5)}} = \frac{3^{-9} \cdot 3^{-8}}{3^{-15}} \]

Сложим показатели степеней в числителе:

\[ \frac{3^{-9-8}}{3^{-15}} = \frac{3^{-17}}{3^{-15}} \]

Разделим степени с одинаковым основанием:

\[ 3^{-17 - (-15)} = 3^{-17+15} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]

Ответ: \(\frac{1}{9}\).