4. Вычислите: \( \frac{2^{-6} \cdot 4^{-3}}{8^{-7}} \)

Решение:

Для вычисления значения выражения приведем все основания степеней к одному основанию, например, к 2:

\( 4 = 2^2 \)

\( 8 = 2^3 \)

Подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{2^{-6} × (2^2)^{-3}}{(2^3)^{-7}} \]

Применим правило возведения степени в степень \( (a^m)^n = a^{mn} \):

\[ \frac{2^{-6} × 2^{2 × (-3)}}{2^{3 × (-7)}} = \frac{2^{-6} × 2^{-6}}{2^{-21}} \]

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются \( a^m × a^n = a^{m+n} \):

\[ \frac{2^{-6 + (-6)}}{2^{-21}} = \frac{2^{-12}}{2^{-21}} \]

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются \( a^m : a^n = a^{m-n} \):

\[ 2^{-12 - (-21)} = 2^{-12 + 21} = 2^9 \]

Вычислим значение \( 2^9 \):

\[ 2^9 = 512 \]

Ответ: 512.