4. Вариант 13, Задание 12. Найдите наибольшее значение функции \(y = (x^2 - 3x + 3) · e^{3-x}\) на отрезке [2; 5].

Задание 12

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке нам нужно найти производную этой функции, приравнять её к нулю, найти критические точки, а затем вычислить значение функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Находим производную функции.

Используем правило дифференцирования произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \(u = x^2 - 3x + 3\) и \(v = e^{3-x}\).

Производная \(u' = (x^2 - 3x + 3)' = 2x - 3\).

Производная \(v' = (e^{3-x})' \). Используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть \(w = 3-x\), тогда \(w' = -1\). Производная \(e^w = e^w · w' = e^{3-x} · (-1) = -e^{3-x}\).

Теперь найдём производную \(y'\):

\[ y' = (2x - 3) · e^{3-x} + (x^2 - 3x + 3) · (-e^{3-x}) \]

\[ y' = e^{3-x} · ((2x - 3) - (x^2 - 3x + 3)) \]

\[ y' = e^{3-x} · (2x - 3 - x^2 + 3x - 3) \]

\[ y' = e^{3-x} · (-x^2 + 5x - 6) \]

2. Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю:

\[ e^{3-x} · (-x^2 + 5x - 6) = 0 \]

Так как \(e^{3-x}\) всегда больше нуля, то нам нужно решить квадратное уравнение:

\[ -x^2 + 5x - 6 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Находим корни этого уравнения (например, по теореме Виета или через дискриминант):

\(x_1 + x_2 = 5\)

\(x_1 · x_2 = 6\)

Корни: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 3\).

Обе критические точки \(x=2\) и \(x=3\) принадлежат отрезку [2; 5].

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках.

При x = 2:

\[ y(2) = (2^2 - 3 · 2 + 3) · e^{3-2} \]

\[ y(2) = (4 - 6 + 3) · e^1 \]

\[ y(2) = 1 · e = e \]

При x = 3:

\[ y(3) = (3^2 - 3 · 3 + 3) · e^{3-3} \]

\[ y(3) = (9 - 9 + 3) · e^0 \]

\[ y(3) = 3 · 1 = 3 \]

При x = 5:

\[ y(5) = (5^2 - 3 · 5 + 3) · e^{3-5} \]

\[ y(5) = (25 - 15 + 3) · e^{-2} \]

\[ y(5) = 13 · e^{-2} = \frac{13}{e^2} \]

4. Сравниваем полученные значения.

Нам нужно сравнить \(e\), \(3\) и \(\frac{13}{e^2}\).

Приблизительное значение \(e ≈ 2.718\).

\(e ≈ 2.718\).

\(3\).

\(\frac{13}{e^2} ≈ rac{13}{(2.718)^2} ≈ rac{13}{7.389} ≈ 1.76\).

Сравнивая значения: \(2.718\), \(3\) и \(1.76\), наибольшим является \(3\).

Ответ: 3